Зиганшин Олег

Изучение магических квадратов и умение их составлять

Скачать:

Предварительный просмотр:

Конкурс научных проектов школьников

в рамках краевой научно-практической конференции «Эврика-юниор»

Малой академии наук учащихся Кубани

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ – ГОЛОВОЛОМКИ

«МАГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ»

Секция: «математическая»

Зиганшин Олег Русланович, 5 класс,

МОБУ СОШ № 1,

МО Кореновский район Краснодарский

Край

Научный руководитель: : учитель математики

Краснова Надежда Николаевна, , МОБУ СОШ № 1

г. Кореновск

2011 г

«МАГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ»»

Зиганшин Олег Русланович,

СОШ № 1, ученик 5 «В» класса

Введение . 3

Глава 1. Магический квадрат как произведение искусств. 5

1.1.История возникновения магического квадрата 5

1.2 Свойства магического квадрата 6

Глава 2. Расчёты и составления магических квадратов. 9

1. Расчет 9-ти клеточного магического квадрата. 9
2. Расчет 16-ти клеточного магического квадрата. 9

Заключение 10

Список литературы 11

Приложения 12

Приложение I 12

Приложение II 13

«МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ – ГОЛОВОЛОМКИ

«МАГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ»»

Зиганшин Олег Русланович,

Россия, Краснодарский край, г. Кореновск,

СОШ № 1, ученик 5 «В» класса

Кто с детских лет занимается математикой,

Тот развивает внимание, тренирует свой

Мозг, свою волю, воспитывает

Настойчивость и упорство в достижении

Цели.

А. Маркушевич

Введение

Великие ученые древности считали количественные отношения основой сущности мира. Поэтому числа и их соотношения занимали величайшие умы человечества. Магический квадрат- это квадрат, сумма чисел которого в каждом горизонтальном ряду, в каждом вертикальном ряду и по каждой из диагоналей одна и та же.

Некоторые выдающиеся математики посвятили свои работы магическим квадратам и полученные ими результаты оказали влияние на развитие групп, структур, латинских квадратов, определителей, разбиений, матриц, сравнений и других нетривиальных разделов математики.

Я выбрал магический квадрат, потому что я люблю математику. Математика – королева всех наук. Ее применяют во многих областях и в повседневной жизни. Математические головоломки – это мое хобби. Я люблю различные головоломки, такие как судоку, какуро, морской бой и многие другие. Головоломки развивают внимание, улучшают логику, укрепляют память. Когда я их решаю, я не скучаю. Магический квадрат, всех очаровывает своими комбинациями чисел. Его секрет до сих пор не разгадан. Магический квадрат - это лучшая головоломка, которую я видел.

Цель исследования: изучить свойства магического квадрата, необходимые для составления своих квадратов.

Задачи исследования:

1. .Изучить историю магических квадратов, свойства их составления, подбор квадратов.

Методы исследования:

1.Метод анализа научно-популярной литературы.

2.Метод наблюдений и обобщений.

3.Метод математического расчета.

Исследование проходило в 3 этапа:

Новизна исследования для нас состоит в том, что я рассчитал, опираясь на литературу, и нашел свои магические 9-ти и 16-ти клеточные квадраты.

Продукт исследования: создание своих магических квадратов.

Практическая значимость работы решение сложных математических головоломок, развитие логического мышления. На основе этой работы можно в дальнейшем провести в школе математический вечер, организовать кружок юных мыслителей, создав инициативную группу, состоящую из учителей, классных руководителей и учащихся. В действительности заинтересовать учащихся, привить любовь к математике.

«МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ – ГОЛОВОЛОМКИ

«МАГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ»»

Зиганшин Олег Русланович,

Россия, Краснодарский край, г. Кореновск,

МОБУ СОШ № 1, ученик 5 «В» класса

Магический квадрат как произведение искусств.

1.1.История возникновения магического квадрата.

Магический квадрат один из наиболее древних головоломок. Первые упоминания о магическом квадрате встречаются в китайской книге, написанной за 4-5тыс. лет до нашей эры. По легенде, считается, что китайский император Ию, живший приблизительно около 4 тыс. лет назад однажды на берегу реки увидел священную черепаху с узором из белых и черных кружков на панцире. Этот символ китайцы назвали «ло-шу» и использовали в магических обрядах при заклинаниях. От этого и произошло название магический квадрат.

Основное свойство волшебного квадрата в том, что девять порядковых чисел размещены в девяти клетках так, что суммы чисел в каждом столбце, в каждой строке и каждой из двух диагоналей одинаковы. Позже примерно в I веке до н.э. магический квадрат появился в Индии. Древние индусы и арабы приписывали этим числовым сочетанием магическое значение. Тайну которых они не могли постичь.

В этом квадрате уже 16 порядковых чисел, размером в 16 клеток, так, что выполняется его основное свойство.

1+14+15+4=34

12+7+6+9=34

8+11+10+5 =34

13+2+3+16=34

34, 34, 34, 34 в строках и столбцах каждое число участвует в двух суммах, а по диагоналям даже в трех. И, что самое удивительное в том, что все полученные суммы равны между собой.

Затем магический квадрат в средневековье проник в Западную Европу. Там таинственные числа почитались, считались волшебными. И люди носили их, как талисманы, считая, что они защищают от разных бед тех, кто их носит. Эти расставленные мозаикой числа привлекаю не только математиков, но и художников, как произведение искусства.

Великий и немецкий художник Альбрехт Дюрер был так очарован магическим квадратом, что даже изобразил его на своей гравюре «Меланхолия».

Людям до сих пор, не известно, знал ли Дюрер раньше магический квадрат, или же придумал его сам. На гравюре мы видим, что в нижней строке, магического квадрата изображены числа обозначающие год создания произведения (1514). Дюрер был не только художником, но и немного математиком. Он изобразил магический квадрат как настоящее произведение искусства, в которое чем больше вглядываешься, тем больше находишь прекрасных сторон и новых вещей.

1.2 Свойства магического квадрата

Волшебный квадрат является математическим произведением искусства, в котором помимо основного есть еще не мало дополнительных свойств. Вот еще 6 дополнительных свойств магического квадрата:

1. Сумма чисел, расположенных по углам волшебного квадрата, равна 34, то есть тому же числу, что и сумма чисел вдоль ряда квадрата.
2. Суммы чисел в каждом из маленьких квадратов (в 4 клетки), примыкающих к вершинам данного квадрата, и в таком же центральном квадрате, тоже одинаковы и каждая из них равна 34.

1+14++12+7=34

8+11+13+2=34

10+5+3+16=34

7+6+11+10=34

1. В каждой его строке есть пара рядом стоящих чисел, сумма которых 15, и еще пара тоже рядом стоящих чисел, сумма которых 19.
2. Подсчитайте-ка теперь сумму квадратов чисел отдельно в двух крайних строках и в двух средних:

12 +142 +152 + 42 = 438

122 +72 +62 +92 = 310

132 +22 +32 + 162 =438

82 +112 +102 + 52 =310

Как видите, получились попарно равные суммы!

1. Нетрудно убедиться, что аналогичным свойством обладают и столбцы чисел. Суммы квадратов чисел двух крайних столбцов равны между собой и суммы квадратов чисел двух средних столбцов тоже одинаковы.
2. Если в данный квадрат вписать еще один квадрат с вершинами в серединах сторон данного квадрата, то:

а) сумма чисел, расположенных вдоль одной пары противоположных сторон вписанного квадрата, равна сумме чисел, расположенных вдоль другой пары противоположных его сторон и каждая из этих сумм равна опять-таки числу 34:

12+14+3+5=15+9+8+2=34

б) еще интереснее, то, что равны между собой даже суммы квадратов и суммы кубов этих чисел:

12+14+3+5=15+9+8+2

12+14+3+5=15+9+8+2

Если все столбцы волшебного квадрата сделать строками, сохраняя их чередование, то есть числа первого столбца в той же последовательности расположить в виде первой строки, числа второго столбца в виде второй строки и т.д., то квадрат останется «волшебником» с теми же его свойствами.

При обмене местами отдельных строк или столбцов волшебного квадрата некоторые из вышеперечисленных его свойств могут исчезнуть, но могут и все сохраниться и даже появиться новые. Например, поменяем местами первую и вторую строки данного квадрата:

Суммы чисел вдоль строк и столбцов, конечно, не изменились, но суммы чисел вдоль диагоналей стали иными, не равными 34. Волшебный квадрат потерял часть своих основных свойств, стал «неполным» волшебным квадратом.

Продолжая обменивать местами строки и столбцы квадрата, вы будете получать все новые и новые волшебные квадраты из 16 чисел. Некоторые из них снова будут полностью обладать основными свойствами.

«МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ – ГОЛОВОЛОМКИ

«МАГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ»»

Зиганшин Олег Русланович,

Россия, Краснодарский край, г. Кореновск,

Расчёты и составления магических квадратов.

2.1 Расчет 9-ти клеточного магического квадрата.

Магический квадрат существует около 7 тыс. лет, постепенно увлекая как и любителей математических развлечений, так и специалистов – математиков. До сих пор еще продолжаются поиски объяснений этого удивительного и красивого явления в мире чисел. За это время, придуманы сотни остроумных способов и правил составления различных волшебных квадратов.

Если числа расположенные в квадрате имеют одинаковую сумму в любой строке, в любом столбце, а также в каждой из его диагонали, то такой квадрат называется магическим.

Сейчас мы попробуем составить 9-тиклеточный магический квадрат.

Существует почти 400 000 расстановок чисел в 9-ти клеточном магическом квадрате. Сумма всех чисел от 1 до 9 равна 45. Всего в квадрате 3 строки. Значит, в каждой строке магического квадрата сумма чисел равна 15. Выпишем все возможные представления числа 15 в виде суммы 3 слагаемых.

9+5+1 8+6+1 7+6+2 6+5+4

9+4+2 8+5+2 7+5+3

8+4+3

При этом число 5 стоит в центре таблицы т.к. оно встречается 4 раза в выписанных суммах (столбец, строка и две диагонали). Числа 2,4,6,8 мы поставим в углы таблицы, т.к. они встречаются 3 раза в суммах (строка, столбец, диагональ). Остальные числа встречаются в суммах 2 раза (строка, столбец) это числа – 13,7,9. Меняя местами комбинации цифр мы составляем все новые квадраты. Приложение I.

2.2 Расчет 16-ти клеточного магического квадрата.

Теперь перейдем к составлению квадратов из 16-ти клеток. При составлении этого квадрата можно использовать пошаговый способ. Приложение II.

На первый взгляд кажется, что в расположении чисел нет никакой системы. Тем, не менее, квадрат обладает совершенно магическим свойством, которое удивит многих.

«МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ – ГОЛОВОЛОМКИ

«МАГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ»»

Зиганшин Олег Русланович,

Россия, Краснодарский край, г. Кореновск,

СОШ № 1, ученика 5 «В» класса

Заключение

В своей работе я рассмотрел вопросы, связанные с историей развития одного из вопросов математики, занимавшего умы очень многих великих людей, - магических квадратов. Несмотря на то, что собственно магические квадраты не нашли широкого применения в науке и технике, они подвигли на занятия математикой множество незаурядных людей и способствовали развитию других разделов математики (теории групп, определителей, матриц и т.д.).

Я изучил и рассчитал свои магические 9-ти и 16-ти клеточные квадраты. Мне кажется, что моя работа интересна и увлекательна.

«МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ – ГОЛОВОЛОМКИ

«МАГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ»»

Зиганшин Олег Русланович,

Россия, Краснодарский край, г. Кореновск,

СОШ № 1, ученика 5 «В» класса

ЛИТЕРАТУРА

1. Энциклопедический словарь юного математика. – М.: Педагогика, 1989.

3. И. Я. Депман, Н.Я. Виленкин. За страницами учебника математики. Москва. Просвещение. 1989г.

4. Сайт:

1. http://ru.wikipedia.org/wiki

Приложение I.

9-ти клеточные магические квадраты

Приложение II.

16-ти клеточный магический квадрат

Первый шаг:

Расположить в 16-ти клетках все целые числа от 1 до 16 по порядку.

Второй шаг:

Порядок следования чисел в строках III и IV изменить на обратный и поменять местами строки II и III

Третий шаг:

Порядок следования чисел во втором и третьем столбце изменить на обратный:

Четвертый шаг:

Порядок следования чисел в строках III и IV изменить на обратный:

Данная загадка быстро разлетелась по всему Интернету. Тысячи людей начали задаваться вопросом о том, как работает магический квадрат. Сегодня вы, наконец-то, найдете ответ!

Тайна магического квадрата

На самом деле данная загадка довольно проста и сделана с расчётом на человеческую невнимательность. Давайте разберемся, как работает магический черный квадрат, на реальном примере:

1. Давайте загадаем любое число от 10 до 19. Теперь давайте вычтем из данного числа его составляющие цифры. К примеру, возьмем 11. Отнимем от 11 единицу и после – еще одну единицу. Выйдет 9. На самом деле не важно, какое число от 10 до 19 вы возьмете. Результат вычислений всегда будет 9. Числу 9 в «Магическом Квадрате» соответствует первая цифра с рисунками. Если присмотреться, то можно увидеть, что очень большому количеству цифр присвоены одни и те же рисунки.
2. Что же будет, если взять число в пределах от 20 и до 29? Может, вы уже сами догадались? Правильно! Результатом вычислений всегда будет 18. Цифра 18 соответствует второй позиции на диагонали с рисунками.
3. Если же взять число от 30 до 39, то, как можно уже угадать, выйдет число 27. Число 27 также соответствует цифре на диагонали столь необъяснимого «Магического Квадрата».
4. Подобный алгоритм остается правдивым для любых чисел от 40 до 49, от 50 до 59 и так далее.

То есть выходит, что неважно, какое число вы загадали - «Магический Квадрат» угадает результат, ведь в клетках под номерами 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72 и 81 на самом деле находится один и тот же символ.

На самом деле данную загадку можно легко объяснить с помощью простого уравнения:

1. Вообразите любое двухзначное число. В независимости от числа его можно представить в виде x*10+y. Десятки выступают в роли “x”, а единицы в роли “у”.
2. Вычтите из загаданного числа цифры, которые составляют его. Складываем уравнение: (x*10+y)-(x+y)=9*x.
3. Число, которое вышло в результате вычислений должно указывать на определенный символ в таблице.

Не важно, какая цифра будет в роли “x”, так или иначе вы получите символ, у которого номер будет кратный девяти. Для того чтобы убедится в том, что под разными номерами находится один символ, достаточно просто посмотреть на таблицу и на номера 0,9,18,27,45,54,63,72,81 и последующие.

Вы любите играть?

Значимость и незаменимость игры в нашей жизни давно уже доказана многими психологами, учеными и самой жизнью. Мы играем с самого детства, учимся общаться в процессе игры, строить отношения.
Собраться всей семьей или с друзьями, поболтать о разном, угостить всех чем-нибудь вкусненьким, сыграть несколько увлекательных партий в настольную игру – все это то, что придает нашей жизни особый колорит.

Сегодня увлечение настольными играми принимает тотальный характер. Ведь современные настольные игры – это не только «бродилки», но и стратегические, экономические, детективные, логические игры.

В мире существует уже до 10 тысяч настольных игр разной тематики. Конечно, за всеми новшествами не угнаться, а некоторые игры слишком дорого стоят. Но ведь игру можно сделать и своими руками

Танграм

При решении головоломки требуется соблюдать два правила: первое — необходимо использовать все семь фигур танграма, и второе — фигуры не должны перекрываться друг другом. Взяв на вооружение математическую науку – комбинаторику, было получено более 5000 возможных вариантов сложенных фигурок.

Примеры сборки:

"ПИФАГОР"

Головоломка Пифагор очень похожая на старый добрый Танграм. Головоломка имеет форму квадрата, разрезанного на 7 частей, комбинируя которые, можно создать огромное количество геометрических фигур, силуэтов животных, людей, разных предметов и т.п. Все детали разного размера, в этом и заключается сложность, поэтому сложить фигуру из них достаточно сложно.

В инструкции к головоломке предлагаются 15 разных заданий. Головоломку Пифагор можно использовать на занятиях по математике, дома или в школе, ведь она отлично способствует развитию воображения, логики, внимания, пространственного мышления, математических и творческих способностей. Вы можете сделать из картона или вырезать из пластика головоломку Пифагор и Вашей семье гарантированы положительные эмоции и хорошее нестроение.

ВОЛШЕБНЫЙ КВАДРАТ

Геометрическая головоломка Волшебный квадрат относится ко второму уровню сложности и подходит для детей в возрасте от 4 лет. Занимаясь с головоломкой, ребенок познакомится с простыми геометрическими фигурами: треугольником, трапецией, квадратом.

Головоломка “Монгольская игра”

Разновидность геометрической головоломки, на подобии “Танграма” или “Квадрата Пифагора”.

Головоломка представляет собой квадрат разрезанный на 11 частей: 2 квадрата, один большой прямоугольник, 4 маленьких прямоугольника, 4 треугольника. Лучше всего изготовить такую головоломку из двустороннего картона или пластика.

Суть игры - собирать фигурки из данных элементов по принципу мозаики.

Как можно играть:

Составлять геометрические фигуры по образцу. В интернете можно найти готовые задания с ответами, а можно придумать задания для своего ребенка и самим.
Для того, чтобы нарисовать фигуры Вам потребуется лист в клетку. Можно взять обычный лист из школьной бумаги. Элементы из которых состоит “Монгольская игра” очень просты, и вам не составит большого труда составить из них композиции.

Вот, для примера, несколько фигур, составленных их элементов головоломки.

Если ребенок маленький, то можно составлять фигуры по примеру, то есть фигурам, разделенными на составные части. Для детей постарше, можно оставлять в фигуре только контуры.

Малыши тоже могут приобщаться к головоломке. Для них можно придумать совсем простенькие задания. Например, сложить из двух треугольников или из двух прямоугольников - квадратики, из треугольников - большой треугольник или параллелограмм. Таким методом можно изучить основные геометрические фигуры.

Головоломка "СФИНКС"

Игры - головоломки развивают пространственное воображение, комбинаторные способности, сообразительность, смекалку, находчивость. Простые в понимании, но достаточно трудные в решении, головоломки находятся на тонкой грани, соединяющей увлекательную игру и интеллектуальное развитие.

Головоломки от Алексея Шамшина

Головоломка Архимеда СТОМАХИОН

Предлагаемая головоломка Архимедова игра — уникальный геометрический конструктор, в который играли еще в глубокой древности. Ее иное название "Стомахион".

Элементы игры получаются путем произвольного деления прямоугольника на 14 частей. Из получившихся деталей конструируют на плоскости разнообразные предметные силуэты, например, сидящей собаки, бегущего человека, разнообразных цветов, птиц. Можно сложить и многофигурные композиции. Знакомить ребенка с игрой необходимо постепенно.

Поупражняйте малыша в различении геометрических фигур. Можно предложить ребенку сосчитать стороны, углы, сгруппировать фигуры по форме, размеру, назвать их. Затем попробуйте конструировать простейшие изображения. Для облегчения головоломки Архимедова игра, предлагается сначала выкладывать фигуры по прилагаемым схемам.

Головоломка "ЛИСТИК"

Геометрическая головоломка-мозаика Листик разработана для детей в возрасте от 4 лет Ф игура, напоминающая лист сирени. Этот лист сирени выложен из других фигур: треугольников, квадратов, трапеций.

Работа с головоломкой развивает глазомер ребенка, восприятие им формы, зрительно-моторную координацию, пространственное мышление и воображение. Способствует развитию произвольности (умения играть по правилам и выполнять инструкции), познавательной активности, мелкой моторики, воображения, сформированности сенсорных эталонов цвета, величины и формы, комбинаторных способностей, абстрактного мышления.

"Волшебный круг"

Круг разрезается на 10 частей. Правила игры те же, что и в других подобных играх: использовать для составления силуэта все 10 частей, не накладывая одну не другую. Разрезанный круг должен быть окрашен одинаково, с двух сторон.

В состав "Вьетнамской игры" входит разделенный на семь частей круг и рамка, в которую укладываются элементы. Все детали головоломки имеют обтекаемую форму, некоторые из них одинаковы по размеру. Предложите малышу сконструировать из замысловатых деталей силуэт какого-нибудь животного или птицы. Сначала можно задействовать не все элементы, затем постепенно усложнять задания.

Можно конструировать по схемам, а можно выдумывать свои сюжетные композиции.

Конструируя простые образные фигуры, дети учатся восприятию формы, способности выделять, фигуру из фона, выделению основных признаков объекта. Головоломка развивает глазомер, аналитико-синтетические функции, воображение (репродуктивное и творческое), зрительно-моторную координацию, умение работать по правилам. Игра предназначена для детей от 4 лет

Существует рассказ - может быть, и вымышленный. От­крыватель Америки Колумб был приглашен к всемогущему кардиналу Мендозе. За столом, по просьбе гостей, он начал рассказывать, как именно был им открыт Новый Свет (кото­рый, впрочем, он считал Индией). Кто-то из присутствую­щих, человек ограниченный, но самоуверенный, пожав пле­чами, сказал: «Так просто всё?»

Колумб взглянул на него и протянул ему лежавшее на блюде куриное яйцо: «Сделайте так, чтобы оно стояло на своем носке». Разумеется, попытки установить яйцо успехом не увенчались. «Это немыслимо...» - сказал обескураженный собеседник Колумба. «Это очень просто!» - с усмешкой от­ветил мореплаватель и, разбив о стол носок яйца, без труда заставил его стоять.

Выражение «колумбово яйцо» - стало воплощением ост­роумного и неожиданного выхода из затруднения, синонимом простого разрешения трудных вопросов.

Знакомимся с увлекательной головоломкой Колумбово яйцо, которая отлично скрасит время в дороге, ожиданиt в поликлинике и конечно же, разовьет логику и мышление ребенка. Принцип игры прост. Разрезаем по линиям фигурку яйца на мелкие детали. Задача ребенка – собрать фигурку по образцу. Но иногда можно пофантазировать и придумать свои варианты, разглядеть в фигуре знакомый образ.

Вот фигуры с заданиями

Пентамино

Известная логическая игра-головоломка. Именно эта игра вдохновила Алексея Пажитнова на создание популярной компьютерной игры тетриса.

Пентамино - очень популярная логическая игра и головоломка одновременно. Элементы в игре - плоские фигуры, каждая из которых состоит из пяти одинаковых квадратов. Всего существуют 12 элементов пентамино, обозначаемых латинскими буквами, форму которых они напоминают

Можно изготовить пентамино из кубиков, но тогда Вам нужно будет склеить и обклеить цветной пленкой 60 кубиков - трудновато. Предлагаем сделать элементы их плотного картона.

• Рисуем каждый элемент на твердом картоне, вырезаем, проверяем, чтобы элемент входил в элемент “U”. Подрезаем, если надо лишнее. Мы рисовали детали из квадратиков 2,5х2,5 см.

• Обводим готовый картонный элемент на сложенной вдвое цветной бумаге и вырезаем сразу две цветные детали. Лучше цветные детали делать меньше, чем картонные, и приклеиваются лучше, и углы поровнее будут.

• Клеим клеем-карандашом цветную бумагу с двух сторон картонки.

• Находим коробочку для хранения деталей, куда потом будем складывать также схемы и задания к игре.

Судьба человеческих изобретений зачастую непредсказуема. То, что поначалу воспринимается как диковинка или ни на что не пригодный бред горе-изобретателя, вполне может через десяток лет оказаться последним писком моды. Именно так, например, сложилась судьба у громоотвода, а в наше время - у компьютерной "мыши". В то же время многие другие изобретения, поначалу широко используемые, потом потихоньку забываются. И, наконец, есть вечные ценности - колесо, винт, проволока...

Кажется еще более удивительным, но все вышесказанное относится также и к сфере интеллектуальных развлечений. Шахматы, шашки, нарды, а также многие карточные игры известны с глубокой древности, причем интерес к ним практически не ослабевает. "Пятнашки" были изобретены Сэмом Лойдом более века назад и сохраняют популярность до сих пор. Примерно столько же известна головоломка Эдуарда Люка "Ханойская башня". А вот кубику Рубика - всего чуть более двадцати лет, причем ныне, после бешеного успеха начала 80-х годов, его популярность почти угасла. И, между прочим, кроссворды также изобретены в начале 20-го века, но первые лет 10 о них практически никто не знал, а сейчас разгадывание кроссвордов - любимый досуг миллионов людей, причем в последнее время появляются все новые и новые виды кроссвордных головоломок - сканворды, филворды и т.п

Я не оставляю надежды, что когда-нибудь наряду с кроссвордами и чайнвордами свое заслуженное "место под солнцем" отвоюют и разнообразные числовые головоломки, в которых нужно делать примерно то же, что и в кроссвордах - заполнять пустые клетки цифрами. Рассказ о таких задачах-головоломках мы начнем с японского изобретения - игры "магический квадрат". Другое ее (английское) название - "Number Place" ("Числовая площадка" или, говоря, военным языком, "Числовой плац") .

Плац имеет форму квадрата 9x9, разбитого на единичные клетки. Некоторые из этих клеток уже заполнены, а остальные еще только предстоит заполнить, используя для этого цифры от 1 до 9. Основное условие такое: в каждой строке, в какждом столбце и в любом из девяти "выделенных" квадратиков 3x3 все цифры должны быть различными. Понятно, что при этом каждая цифра может встретиться (быть использована) в строке, столбце и квадрате 3x3 только один раз.

Две задачи, которые я здесь комментирую, придуманы в 1997 году японцем Хирофуми Фудзивара, а мною взяты с сайта http://www.pro.or.jp/~fuji/java/puzzle/numplace/book1/index-eng.html

Там этих задач гораздо больше, к тому же предоставляется возможность порешать их прямо в Сети (соответствующие апплеты на Java не просто написаны, а еще и удобны), так что очень рекомендую воспользоваться этой "наводкой".
Посмотрите на рисунок с условием задачи 1. Чтобы расставить недостающие цифры, необходимо найти какую-то "зацепочку". Как это сделать? Инструкций, гарантирующих успех на 100%, я дать не могу, но несколько полезных рекомендаций все-таки выдам.

1. Постарайтесь найти место, на котором допустима только какая-то одна цифра (то есть такое место, для которого все цифры, кроме одной, уже использованы либо в той же строке, либо в том же столбце, либо в том же квадратике 3x3).

Постарайтесь отыскать такие места самостоятельно, а если не получится - поглядите на следующий рисунок.

Здесь подчеркнуты (и выделены на желтом фоне) цифры 1, 4 и 5. Все места, на которых они поставлены, обладают тем свойством, что никакие другие цифры туда поставить нельзя.

2. Вставьте на такие места все эти цифры, после чего повторите поиск таких мест заново. (Вообще говоря, совет "повторите заново" универсален: действия, приводящие к продвижению в решении головоломки, нужно повторять до тех пор, пока они продвигают решение дальше).

На рисунке "вторые шаги" вставлены цифры, которые можно определить сразу после "первых шагов", а на следующем рисунке сделано еще два шага. Числа, появившиеся на первом из них, подчеркнуты один раз, а те, которые заполнены на втором шаге, подчеркнуты двойной линией на голубом фоне.

Продвигаясь таким образом, мы в конце концов получаем картинку, на которой наш первый совет уже неприменим (или мы не видим, как его применять). Что тогда?

Посмотрите на верхнюю строку (на любом из рисунков, начиная с условия). Где именно в ней может стоять двойка? Легко убедиться, что только в третьем столбце - во всех остальных свободных столбцах этой строки двойки с самого начала стоят в других строках. Если сформулировать эту мысль аккуратнее, то получится вот что:

3. Для каждой строки, столбца, квадрата 3x3 постарайтесь найти цифру, которая может в этой строке (столбце или квадратике) стоять только в единственном месте. Если бы мы с самого начала воспользовались этим рецептом, то смогли бы сразу же поставить единицу в четвертый столбец, двойку - в четвертую строку, седьмой столбец и правый средний квадратик 3x3, а цифру 9 - в первый столбец и левый средний квадратик. Рецепт-то, оказывается, очень мощный! (Увы, зато его гораздо тяжелее применять на практике: для выполнения первого рецепта достаточно было посмотреть на одно конкретное место "плаца", а здесь приходится внимательнейшим образом просматривать весь "плац" и анализировать, какие цифры не могут находиться на тех или иных местах.)

Возможны и еще более тонкие рассуждения. Например, если в какой-нибудь строке обнаружатся две конкретные цифры, каждую из которых можно поставить только на два места, причем пара этих мест окажется одной и той же (для обеих цифр), то никаких других цифр на этих местах быть не может! (Подумайте над тем, какие дополнительные возможности дает такой тип рассуждений и как можно развить такой ход рассуждений дальше).

Так или иначе, а решение первой задачи можно довести до конца, ни разу не применяя этой "тяжелой артиллерии". А чтобы все-таки читатели смогли ее освоить, я приведу еще одну задачу. Попробуйте в этой задаче сразу применить оба рецепта. Сколько цифр при этом вам удастся поставить на первом же шаге решения?

Мне с первого шага поддались 20 цифр - см. рисунок. (Кстати, постарайтесь внимательно проанализировать, исходя из каких соображений поставлена та или иная цифра).